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一元二次方程配方法例子

来源:www.wuanminghao.com 时间:2024-06-11 01:15:35 作者:特制配方网 浏览: [手机版]

一元二次方程是初中数学中的重要内容,也是高中数学的基础www.wuanminghao.com特制配方网。解一元二次方程的方法有很多种,其中最用的是配方法。本文将通过例子详细介绍一元二次方程配方法的步骤和注意事项。

一元二次方程配方法例子(1)

例1:解方程$x^2+6x+8=0$

首先,我们需要将方程变形为$(x+a)^2+b=0$的形式。为了实现这一点,我们可以通过“补全方”的方法,即找到一个数$a$,使得$(x+a)^2=x^2+2ax+a^2$,然数项移到等号右边,得到$(x+a)^2=-b$。因此,我们需要找到一个数$a$和$b$,满足以下条件:

一元二次方程配方法例子(2)

$(x+a)^2+b=x^2+6x+8$

$(x+a)^2=x^2+2ax+a^2$

$b=a^2$

  将第一个式子代入第二个式子,得到$x^2+2ax+a^2=x^2+6x+8$,化简得到$2ax=6x-8$,即$(2a-6)x=-8$wuanminghao.com。因为$x$的系数相等,所以我们可以将方程两边时除以$x$,得到$2a-6=-\frac{8}{x}$。因为$x\neq 0$,所以我们可以将方程两边时乘以$x$,得到$2ax-6x=-8$。将这个式子代入原方程,得到$(x+a)^2+b=(2ax-6x)+a^2+b=0$,即$(a^2+b)-4ax=0$。因为$x$的系数相等,所以我们可以将方程两边时除以$4a$,得到$\frac{a^2+b}{4a^2}-x=0$。因为$x$的系数为$1$,所以我们可以将方程两边时乘以$-1$,得到$x-\frac{a^2+b}{4a^2}=0$特制配方网。因此,我们得到了方程的标准形式,即$(x-\frac{a}{2})^2-\frac{b}{4a}=0$。

现在,我们可以通过求解$(x-\frac{a}{2})^2-\frac{b}{4a}=0$解方程。首先,我们需要将方程右边的数项移到边,得到$(x-\frac{a}{2})^2=\frac{b}{4a}$。然,我们可以对方程两边方,得到$x-\frac{a}{2}=\pm\sqrt{\frac{b}{4a}}$。因此,我们得到了两个解:

$x_1=\frac{-a+\sqrt{a^2-b}}{2}$

  $x_2=\frac{-a-\sqrt{a^2-b}}{2}$

  回到原方程$x^2+6x+8=0$,我们可以通过比系数确定$a$和$b$的值wuanminghao.com。因为$x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$,所以$a=-3$,$b=1$。因此,我们得到了两个解:

一元二次方程配方法例子(3)

$x_1=-2$

  $x_2=-4$

  例2:解方程$x^2+2\sqrt{2}x+2=0$

  这个方程的系数中含有根号,所以我们需要先化简一下。我们可以将方程两边时乘以$\sqrt{2}$,得到$\sqrt{2}x^2+2x+2\sqrt{2}=0$。然,我们可以将方程变形为$(\sqrt{2}x+a)^2+b=0$的形式,即找到一个数$a$和$b$,满足以下条件:

  $(\sqrt{2}x+a)^2+b=\sqrt{2}x^2+2x+2\sqrt{2}$

$(\sqrt{2}x+a)^2=2x^2+2\sqrt{2}ax+a^2$

$b=a^2+2$

将第一个式子代入第二个式子,得到$2x^2+2\sqrt{2}ax+a^2=2x^2+2x+2\sqrt{2}$,化简得到$(2\sqrt{2}a-2)x+2a^2-2\sqrt{2}=0$。因为$x$的系数相等,所以我们可以将方程两边时除以$2\sqrt{2}-2$,得到$a=\frac{\sqrt{2}}{2}$来源www.wuanminghao.com。将这个值代入$b=a^2+2$,得到$b=3$。

  现在,我们可以通过求解$(\sqrt{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2})^2+3=0$解方程。首先,我们需要将方程右边的数项移到边,得到$(\sqrt{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2})^2=-3$。因为方根的值为正数,所以方程无解。

总结:

通过以上两个例子,我们可以总结出一元二次方程配方法的步骤:

  1.将方程变形为$(x+a)^2+b=0$的形式;

  2.通过比系数,求出$a$和$b$的值;

3.将方程变形为$(x-\frac{a}{2})^2-\frac{b}{4a}=0$的形式;

  4.求解$(x-\frac{a}{2})^2-\frac{b}{4a}=0$,得到方程的解www.wuanminghao.com特制配方网

需要注意的是,一元二次方程配方法适用于系数为实数的方程。果系数为数,我们需要使用其他方法解方程。

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